Materi Polinomial Matematika

Pengertian Polinomial
Polinomial adalah suku banyak yang memiliki ciri-ciri
• Pangkat bilangan cacah
• Memiliki variabel
• Koefisien
• Operasi matematis
• Konstanta
Contoh Polinomial :
X5+3x4+5x4+3x3+8x2+2x
Operasi Matematis Polinomial
Contoh soal:
F(x) = 6x6+4x5+2x3+3x+4
G(x) = 2x5+2x4+x3+2x+2
Hitunglah !
F(x)+g(x)
F(x)-g(x)
F(x).g(x)
Jawab :
Untuk penjumlahan atau pengurangan polinomial,maka yang anda jumlahkan atau kurangkan adalah suku-suku yang sejenis.

F(x)+g(x)
=(6x6+4x5+2x3+3x+4)+(2x5+2x4+x3+2x+2)
=6x6+4x5+2x5+2x4+2x3+x3+3x+2x+4+2
=6x6+6x5+2x4+3x3+5x+6
F(x)-g(x)
=(6x6+4x5+2x3+3x+4) - (2x5+2x4+x3+2x+2)
=6x6+4x5+2x3+3x+4-2x5+2x4+x3+2x+2
=6x6+4x5-2x5-2x4+2x3-x3+3x-2x+4-2
=6x6+2x5-2x4+x3+x+2
F(x).g(x)
Untuk perkalian kalikan terlebih dahulu semua suku
=(6x6+4x5+2x3+3x+4) . (2x5+2x4+x3+2x+2)
=12x11+12x10+8x10+6x9+8x9+4x8+4x8+12x7+4x7+12x6+8x6+2x6+6x6+8x5+6x5+4x4+3x4+8x4+4x3+4x3+6x2+6x+8x+8
=12x11+20x10+14x9+8x8+16x7+22x6+22x5+15x4+8x3+6x2+14x+8
=
3. Nilai Polinomial
Untuk menentukan nilai polinomial terdapat dua metode yaitu substitusi dan teori horner.
1) Metode Substitusi
Contoh :
F(x)=X3-6x2+4x-2
Tentukan nilai polinomial untuk x = 4
Jawab:
=(4)3-6(4)2+4(4)-2
=64-96+16-2
=-18
2) Teori Horner
Untuk teori horner ,pertama-tama kita harus membuat diagram teori horner terlebih dahulu, setelah itu simpan masing-masing koefisien di diagram horner.


4. Pembagian polinomial
Untuk pembagian polinomial terdapat dua cara yang bisa digunakan taitu cara bagi bersusun dan dan teori horner

a) Cara bagi bersusun
Contoh :
F(x)= 2x3+x+2
G(x)=x-3
Hitunglah f(x):g(x)


Untuk pembuktian gunakan algoritma pembagian
f(x)=p(x).h(x)+s(x)
2x3+x+2=(x-3).( 2x2+6x+19)+59
    =2x3+6x2+19-6x2-12x-57+59
    =2x3+x+2
b) Teori horner

Teorema sisa

1) Terorema sisa I
Jika suatu suku banyak f(x) : (x-k) maka sisa pembagiannya adalah f(k)
Contoh :
Tentukan sisa pembagian dari :
F(x)= 2x5+x3+2x2+5x+4 : (x-5)
Jawab :

Teorema sisa I
2x5+x3+2x2+5x+4 = f(k)    x-k=x-5
       x-5                                          k= 5
= 2(5)5+(5)3+2(5)2+5(5)+4
= 2(3125)+125+2(25)+25+4
= 6250+125+50+25+4
=6454
2) Teorema sisa II
Jika suatu suku banyak f(x):ax-b maka akan bersisa f(b/a)
Tentukan sisa pembagian dari F(x)=X5-5x4+2x3-x2+x-3 : 2x-1
Jawab :
Teori horner


Bagi bersusun


Teorema II
F(x)= X5-5x4+2x3-x2+x-3 :2x-1
F(b/a)= (b/a)5+5(b/a)4+2(b/a)3+(b/a)2-3


3) teorema sisa III
Jika suatu suku banyak f(x): (x-a)(x-b) maka :
(f(x))/((x-a)(x-b))=px+q
Dimana f(a) = p(a) +q dan f(b)= p(b)+q
Contoh :
F(x)= x3-2x2+3x-1 : x2+x-2
Langkah pertama faktorkan terlebih dahulu pembagi         
x2+x-2
(x+2)(x-1)
F(a)= p(a)+q
F(b)=p(b)+q
a=-2
b=1
F(x)= x3-2x2+3x-1
F(a)= a3-2a2+3a-1                   f(b)= b3-2b2+3b-1
F(-2)= (-2)3-2(-2)2+3(-2)-1    f(1)= 13-2(1)2+3(1)-1
F(-2)=-8-8-6-1                         f(1)=1-2+3-1
F(-2)=-23                                 f(1)= 1

F(a)= p(a)+q               F(b)=p(b)+q
F(-2)=p(-2)+q              F(1)=p(1)+q
F(-2)=-2p+q                F(1)=p+q
   -23=-2p+q                    1=p+q
-2p+q=-23........(1)         p+q=1.....(2)

• Eliminasi kedua persamaan  
-2p+q=-23
   p+q=1    -
-3p=-24
P=-24/-3
P=8
• Substitusi nilai p=8 ke pers 2   maka sisanya
p+q=1      p(x)+q
8+q=1      8x-7
Q=1-8
Q=-7

4) teorema faktor
x2+4x+3
X3+2x2-5x-6    
Faktor dari -6          
±1±6±2±3

Hp {-1,2,-3}